Родился 16 апреля 1983 года в Омске. В 2006 году окончил Санкт—Петербургскую театральную академию, курс С.Д. Черкасского. Актёрскому мастерству Александр учился в Санкт—Петербургской академии театрального искусства (СПГАТИ), которую окончил в 2006 году. В 2007 году Алёшкин был принят в труппу Нового драматического театра. Дебютом актёра в большом кино стала роль в военной драме Александра Сокурова «Александра» (2007), первой работой на телевидении — участие в популярном сериале «Улицы разбитых фонарей». Работал в московском театре «Модернъ» (2006—2007), Московском Новом драматическом театре (2007—2011). С 2011 года — артист театра «Содружество актёров Таганки» (с 2021 — Московский театр на Таганке). Премия конкурса «Муза Санкт—Петербурга» за лучшую мужскую роль в спектакле «Мера за меру» (реж. Черкасский С.Д.)